W 1922 roku Stefan Banach obronił na Uniwersytecie Jana Kazimierza we Lwowie rozprawę doktorską „Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales”. Praca ta uznawana jest za jeden z fundamentów analizy funkcjonalnej jako samodzielnej dziedziny matematyki. Banach badał w niej działania wykonywane na obiektach abstrakcyjnych, szczególnie na funkcjach, oraz ich zastosowanie do równań całkowych.

Najważniejsze znaczenie miało wprowadzenie pojęć, które pozwalały traktować funkcje podobnie jak punkty w przestrzeni geometrycznej. Banach opisał przestrzenie wyposażone w normę, czyli sposób mierzenia „długości” lub „wielkości” elementów, oraz analizował ich własności. Takie przestrzenie nazwano później przestrzeniami Banacha. Stały się one jednym z podstawowych narzędzi nowoczesnej matematyki.

Powstanie analizy funkcjonalnej umożliwiło badanie równań, funkcji i operatorów w sposób ogólny i precyzyjny. Dziedzina ta znalazła zastosowanie w fizyce, mechanice kwantowej, teorii równań różniczkowych, ekonomii, informatyce i analizie danych. Dorobek Banacha sprawił, że polska szkoła matematyczna stała się jednym z najważniejszych ośrodków matematyki XX wieku.